دانلودمقاله مقدمه‌ای از معادلات دیفرانسیل معمولی

اختصاصی از رزفایل دانلودمقاله مقدمه‌ای از معادلات دیفرانسیل معمولی دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

یک معادله دیفرانسیل معمولی هست رابطه‌ای بین یک تابع و مشتقل های آن و متغیرهای مستقل که به آنها بستگی دارند، فرم کلی از یک معادله دیفرانسیل معمولی عبارتست از (6.1) وقتی که تا مشتق مرتبه m ام تابع y موجود باشد، همچنین y و مشتقاتش تابعی از متغیر مستقل t خواهند بود، مرتبه یک معادله دیفرانسیل عبارتست از مرتبه بزرگترین مشتق موجود در آن، و درجه یک معادله دیفرانسیل عبارتست از درجه مشتق از مرتبه بالا که با دیگر مشتقات رابطه دارد.
اگر بین تابع متغیر y(t) با خودش و یا هر یک از مشتقاتش نتوان رابطه‌ی دقیق را بدست آورد. معادله به یک معادله خطی تبدیل می شود، فرم کلی یک معادله دیفرانسیل خطی از مرتبه m عبارتست از (6.2) که هر کدام از ها توابع شناخته شده ای هستند:
اگر معادله دیفرانسیل غیر خطی (6.1) از مرتبه m را بتوان به فرم (6.3) درآورد آن گاه معادله (6.3) نامیده می‌شود یک تابع اولیه از معادله دیفرانسیل (6.1) . به این فرم که بالاترین مرتبه مشتق عبارتست از رابطه‌ای بین مشتقات از مرتبه پایین‌تر و متغیرهای مستقل.
«مسائل مقدار اولیه»
یک راه حل عمومی برای یک معادل دیفرانسیل عادی مانند (6.1) هست یک رابطه‌ای بین y و t و m مقادیر دلخواه ثابت، که معادله را مورد قبول قرار می‌دهند در حالی که محتوی مشتقات نمی شود. این راه حل شاید یک رابطه ضمنی به فرم (6.4) یا یک تابع صریح برحسب t به فرم (6.5) باشد.
این m مقادیر دلخواه ثابت می تواند تعیین شود بوسیله شرایط m گانه به فرم (6.6)
در ابتدا نامیده می شود شرایط اولیه؛ نقطه نامیده می شود نقطه اولیه. معادله دیفرانسیل (6.1) به همراه شرایط اولیه موجود در (6.6) نامیده می شود یک مسأله مقدار اولیه.
اگر این m شرایط تعیین شده باشند بوسیله بیشتر از یک نقطه که تعیین کرده‌اند m مقادیر ثابت دلخواه در راه حل عمومی (6.4) در این صورت نامیده می شود شرایط مرزی (کرانی)، معادله دیفرانسیل (6.1) به همراه شرایط مرزی شناخته شده است به عنوان یک مسأله مقدار مرزی.
یک معادله دیفرانسیل (6.3) با شرایط اولیه (6.6) شاید نوشته شود به عنوان یک سیستم معادل (هم ارز) از یک معادله دیفرانسیل مقادیر اولیه به فرم زیر:


که در نشانه گذاری (نمادسازی) برداری شده اند.

که و
بنابراین، روش های حل مسأله مقدار اولیه ابتدایی (6.8) و شاید کاربرد داشته باشد در حل مسائل مقدار اولیه (6. و مسأله مقدار اولیه (6.3) .

مثال (6.1) : تبدیل کنید مسأله مقدار اولیه مرتبه دوم زیر را به مسائل مقدار اولیه مرتبه اول (؟)
؛
حل. قرار می دهیم:

بنابراین: و . و
و
و
و و
و و
مثال (6.2) تبدیل کنید سیستم زیر را از دو معادله مرتبه 3 به یک سیستم با شش معادله مرتبه 1 .
؛
؛
حل. جانشین های زیر را پدید می آوریم:









قضیه وجود و یگانگی:
وجود و یگانگی جواب مسأله مقدار اولیه (6.8) بوسیله قضیه‌ی زیر تضمین می شود:
قضیه (6.1) : تابع f(t,u) تحت شرایط زیر را در نظر می گیریم:
(i) f(t,u) یک تابع حقیقی است؛
(ii) برای هر و ؛ تابع f(t,u) پیوسته و تعریف شده است؛
(iii) برای هر و هر : به طوری که L ثابت لیپ شینز نامیده می شود.
در این صورت برای هر ، مسأله مقدار اولیه (6.8) جواب منحصر به فرد برای را دارد.
سیستم های معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول با ضرایب ثابت
یک سیستم خطی مرتبه اول با ضرایب ثابت به فرم زیر را در نظر می‌گیریم.
(6.18)
به طوری که ؛ یک ماتریس مربعی ثابت بوده و b(t) یک بردار m بعدی می باشد، راه حل کلی (6.18) می تواند به فرم زیر نوشته شود:
(6.19)
به طوری که ماتریس A با مقادیر ویژه و بردارهای ویژه متناظر با آنها می باشد. تابع یک جواب خصوصی معادله (6.18) می باشد.
معادله ماتریسی (6.18) می تواند با به کار بردن تبدیلات مشابه ناهمبسته شود.
اگر ماتریس متناظر بردارهای ویژه باشد، قرار دهید سپس:
(6.20)
با ضرب ماتریس معکوس بدست می آوریم:

(6.21)
به طوری که و هست یک ماتریس قطری با عناصر روی قطر .
معادله (6.21) یک سیستم نزولی برای جواب های بدست می‌دهد.
جواب (6.21) به فرم زیر است:

قضیه (6.2) (پایستگی). جواب دستگاه (6.18) با b(t)=0 به صورت ثابت خوانده می شود. هر گاه اگر و فقط اگر تمام مقادیر ویژه ماتریس A دارای بخش حقیقی منفی باشند.
مثال (6.3) . جواب سیستم معادلات زیر را پیدا کنید به طوری که و .
حل. جواب این دستگاه معادلات می تواند بوسیله پیدا کردن مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس A بدست آید:
معادله مشخصه A عبارتست از:

لذا مقادیر ویژه عبارتست از .
برای ، داریم:
بردار ویژه متناظر عبارتست از .
برای ، داریم:
بردار ویژه متناظر عبارتست از
از اینرو جواب سیستم عبارتست از:

پس از ترکیب، می توان جواب را به فرم زیر نوشت:

روش های عددی: (Numerical Methods)
پیش از مبادرت به حل یک مسأله مقدار اولیه می خواهیم بدانیم آیا جوابی وجود دارد و اگر چنین است، جواب منحصر به فرد است، به علاوه مایلیم بدانیم آیا تغییرات کوچکی در صورت مسأله موجب تغییرات کوچکی در جواب می شوند، برای بحث در این مسائل به چند تعریف و نتایجی از نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی نیاز داریم.
تعریف (1) : گوییم تابع f (t,y) با متغیر y بر مجموعه در شرط لیپ بیشتر صدق می کند در صورتیکه یک ثابت مانند با این خاصیت موجود باشد که هر وقت آن گاه:

ثابت یک ثابت لیپ بیشتر برای t گوییم.
تعریف (2) : گوییم مجموعه محدب است اگر هر وقت و متعلق به D باشند، نقطه نیز به ازای هر ، متعلق به D باشد.
قضیه (1) : فرض کنیم f(t,y) بر یک مجموعه محدب تعریف شده باشد، اگر ثابتی چون موجود باشد که به ازای هر ، آن گاه f نسبت به متغیر y بر D در شرط لیپ شیتز با ثابت L صدق می کند.
قضیه (2) : فرض کنیم و f(t,y) بر D پیوسته باشد. هرگاه f نسبت به متغیر y بر D در شرط لیپ شیتز صدق کند آن گاه مسئله مقدار اولیه ؛ ؛ دارای جواب منحصر به فرد y(t) ، به ازای ، است.

فرمت این مقاله به صورت Word و با قابلیت ویرایش میباشد

تعداد صفحات این مقاله  38  صفحه

پس از پرداخت ، میتوانید مقاله را به صورت انلاین دانلود کنید