فصل 6
تابعهای متغیر مختلط 1
ویژگیهای تحلیلی نگاشت
عددهای موهومی پرواز شگفت انگیز روح خدایند.این اعداد هویت دو گانه ای بین بودن ونبودن دارند.
گاترفید ویلهلم فون لایب نیتس۱۷۰۲میلادی
نظریه ی تابع ها از یک متغییر مختلط شامل برخی از قوی ترین و مفید ترین وپر کاربرد ترین ابزارهای تحلیل ریاضی است.برای انکه دست کم تا هدودی اهمییت متغیر های مختلف را نمایش دهیم چند مبهث از کاربرد های انها را به اختصار بر می شمریم .
۱.در مورد بسیاری از زوج تابع هایu v ,همuوهم vدر معادله ی لاپلاس در دو بعد واقعی صدق میکنند .
برای مثال یا vیاu را میتوان برای توصیف پتانسیل الکتروستاتیکی دو بعدی به کار برد . آن گاه میتوان از تابع دیگری برای توصیف میدان الکتریکی Eبهره گرفت که یک دسته از منحنی های عمود بر منحنی های مربوط به تابع اولیه را ارائه می کند یک موقعیت مشابه برای هیدرودینامیک از یک شاره ایده ال با حرکت غیر چرخشی نیز وجود دارد تابع uباید پتانسیل سرعت را توصیف کند در حالی که تابع vتابع جریان خواهد بود.
درمواردبسیاریکه تابع های u,vمجهولند می توانیم به یاری نگاشت یا تبدیل در صفحه ی مختلط دستگاه مختصات مناسب با مسئله ی مورد نظر بسازیم .
٢.اعداد مختلط(در بخش ۱-۶) از زوج های اعداد حقیقی ساخته می شوند بنابر این حوزه ی اعداد حقیقی به طور طبیعی در حوزه ی اعداد مختلط جا سازی میشوند. در اصطلاح های ریاضی حوزه ی اعداد مختلط تعمیمی از حوزه ی اعداد حقیقی است و بعداً در جهت هر چند جمله ای به ترتیب n (در حالت کلی )صفر مختلط کامل میشود . این واقعیت ابتدا به وسیله ی گاوس اثبات شد و قضیه اصلی جبر نامیده شد (بخش ۶-۴و۷-٢ را ببینید ) به صورت یک نتیجه تابع های حقیقی سری حقیقی بی نهایت و انتگرال ها معمولا میتوانند به طور طبیعی به اعداد مختلط ساده به وسیله ی نشاندن یک متغیر حقیقی x برای مثال به جای مختلط z تعمیم داده شوند .
در فصل ۸خواهیم دید که معادله های دیفرانسیل مر تبه ی دومی که در فیزیک مطرح می شوند می توان به کمک سری توانی حل کرد.
اگر به جای x متغیر مختلط z را قرار دهیم همین سری توانی را میتوان در صفحه ی مختلط نیز به کار برد. وابستگی جواب در نقطه ی معلوم 0 z ،به رفتار در هر جای دیگر ،نگرش گسترده تری درباره ی جواب به ما می دهدو ابزاری قوی(ادامه تحلیلی) برای گستردن ناحیه ای به شمار می آید که در آن جواب صادق است.
٣. با تغییر پارامتر kازحقیقی به موهومی، ik → k معادله هلمهو لتر به معادله ی پخش
تبدیل می شود.همین تغییر جوابهای معادله ی هلمهولتر(تا بع های بسل و بسل کروی )
را به جواب ها ی معادله ی پخش (تابع های تعدیل یافته ی بسل و تعدیل یافته ی بسل کروی )تبدیل می کند .
۴.کاربرد انتگرالهادر صفحه مختلط در موارد زیر متنوع و مفید است.
( الف) محاسبه ی انتگرا لهای معین (در بخش٧-۲)
(ب)وارون کردن سریهای توانی
(ج) تشکیل حاصلضربهای نامتناهی. ازتوابع تحلیلی(در بخش٧-٢)
(د)دستیابی به جواب های معادله های دیفرانیسل به ازای مقادیربز رگ متغیر
(جواب های مجانبی)
(ه) بررسی پایداری دستگاه های بالقوه نو سانی.
(و)وارون کردن تبدیل های انتگرالی .(درفصل ١٥)
در پایان باید بدانیم که درهنگام تعمیم یک نظریه یساده ی فیزیکی ،بسیاری ازکمیتهای فیزیکی که در اصل حقیقی بودند، به مختلط تبدیل میشوند . ضریب شکست نور که کمیتی حقیقی است . با در نظر گرفتن جذب ، به کمیت مختلطی تبدیل میشود . انرﮊی مربوط به یک تراز انرﮊی هسته ای که حقیقتی است، با در نظر گرفتن طول عمر محدود تراز انرﮊی ، به صورت مختلط در میآید،.E=m±iΓ
مدارهای الکتریکی با مقاومت Rو ظرفیت خازن Cو خود القاییL به ا مپدا نس(مقاومت مختلط) تبدیل می شود ( Cω/1-i (ω L+R=z.
ابتدا حساب مختلط را در بخش( ١-٦ )و سپس تابع های مختلط و مشتق انها را در بخش(٢-٦) معرفی می کنیم .در ادامه بافرمول انتگرال بنیادی کوشی دربخش (٣-٦ )وادامه ی تحلیلی ،تکینه و بسط های لورن و تیلور تا بع ها دربخش (٥-٦ )ونگاشت همدیس و نقطه ی فرعی تکینه ها و توابع چند ظرفییتی در بخش( ٦-٦)و (٧-٦ )آشنا خواهیم شد .
۶.۱ جبر مختلط
به تجربه می دانیم که با حل کردن معادله های درجه دوم برای به دست آوردن صفر های حقیقی آ نها اغلب موفق نمی شویم حاصل جواب را به دست بیاوریم مثال زیر به این نکته اشاره دارد :
مثال ١-١-٦ شکل درجه دوم مثبت
برای همه ی مقادیر حقیقیی xمثبت و معین است .
معادله ی بالا در حوزه اعداد حقیقیی y(x)=0جواب ندارد. البته اگر ما از علا مت استفاده کنیم میتوانیم جواب های y(x)=0رابه صورت بنویسیم در زیر درستی آن را بررسی می کنیم:
اگر چه می توانیم مجاسبا تی باi با توجه به قانون انجام دهیم اما این علا مت به ما نمی گوید که اعداد موهومی واقعی هستند.
برای تمایان ساختن صفر های مختلط باید اعداد حقیقی روی خط را در یک صفحه ی اعداد مختلط بزر گ کنیم . یک اعدد مختلط را به صورت یک نقطه با دومختصات در صفحه اقلیدسی به صورت زوج مرتب از دو عدد حقیقیی(a,b)به صورتی که در (شکل۶-۱ )نشان داده شده است معین کنیم . شبیه آن،یک متغیرمختلط یک زوج مرتب ازدومتغیر حقیقی است،
. (6.1)
تریب قرار گرفتن متغیر ها مهم است . xقسمت حقیقی z , y قسمت موهومی zنامیده میشود . در حالت کلی ، ( a,b) با (b,a) مساوی نیست و همچنین (,y x) با ((y,xمساوی نیست .به طور معلوم نوشتن یک عدد حقیقی ( ( x ,o را به سادگی بصورتxادامه می دهیم و (o,l) = iرا واحد موهومی می شویم محور xمحورحقیقی است و محور yمحور موهومی صفحه عدد مختلط است. توجه کنید که درمهندسی الکتیریکی قرار دارد است وiازپیش برا ی نشان دادن شدت جریان الکتیریکی حفظ شده است. عدد های مختلط باتوجه به مثال۶-۱-۱ نقطه های هستند .
شکل۶-۱:صفحه ی مختلط- نمودار آرگاند
بهره گیری از نموداری متغییر مختلط در موارد زیادی مفید وراحت است. اگر x،یعنی جزءحقیقی z،را محو ر طول و y،یعنی جزء موهومی z،را روی محور عرض بنامیم ،مطابق( شکل۶-۱)صفحه ی مختلط یا صفحه ی آرگاند خواهیم داشت . اگر مقادیر خاصی به y,x نسبت دهیم، zبا نقطه ی (x,y) در صفحه ی مختلط متنا ظر خواهد شد .مطا بق ترتیبی که قبلا" برشمر دیم ، روشن است که نقطه ی (x,y) بر نقطه ی((y,xمنطبق نیست ،مگر در حالت خاص .x=y
اعدد مختلط نقطه هایی در صفحه هستند حالا می خواهیم تا جمع تفریق وضرب وتقسیم آنها را ،دقیقاً مانند اعداد حقیقی انجام دهیم .کل مبحث تحلیل متغییرمختلط را می توان بر حسب زوجهای مرتب اعداد ( a,b)متغیرهای (x,y)،وتابعهای( (x,y),v (y ( u(x,بیان کرد .به کار بردن iلازم نیست ولی مفید است . iترتیب زوجهارا شبیه بردار های یکه در فصل حفظ می کند.جمع اعداد مختلط در اصلاح مولفه های دکارتی صورت زیر معین می کنیم .
z1 + z2= (x1 ,y1 ) + (x2 ,y2 ) = (x1 +x2 ,y1 +y2 ) =z1 + z2, (6.2)
که جمع بردار دو بعدی است . در فصل۱،هر نقطه در صفحه یxy را با یک بردار جابجایی دو بعدی مشخص کردیم .در نتیجه در مورد قسمت اعظم تحلیل مختلط می توان مشابه های برداری دو بعدی را تشکیل داد.در مسئله (۲-١-۶ )یک نمونه ساده این شباهت را مشاهده می کنید . قضیه ی کو شی در بخش (۶-۳ )نمونه ی دیگری از آن است.همچنین 0= ( y٫x)+(y- ٫x-)=z+z- بنابراین منفی اعداد مختلط منحصر به فرد است. تفریق اعداد مختلط مانند جمع انها انجام می شود:
( y2- y12٫x -1 x) = z2-z1
ضرب اعداد مختلط به صورت زیر تعیین میشود
z1 z2= (x1, y1).(x2 ,y2)=(x1 x2 –y1 y2 ,x1 y2 +x2 y1 ). (6.3)
از معادله (۶-٣) استفاده می کنیم. نیزبررسی می کنیم که: به طوری که می توانیم بطور معمولiرا مساوی با بدانیم.بعلاوه با باز نویسی معادله (۶-۱) داریم:
Z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=x+(0,1).(y,0)=x+iy. (6.4)
به کار بردن iلازم نیست در اینجا ولی مفید است .iترتیب زوجها را شبیه بردارهای یکه در فصل ١ حفظ میکند.
با استفاده از اعداد مختلط میتوانیم صفرهای معادلهz ²+z+1=0 در مثال (۶-۱-۱)به صورت و مضربهای کامل تعیین کنیم.
همیوغ مختلط
عمل نشاندنi- به جای i در اعداد مختلط و متغیرهای مختلط و تابع های مختلط" گرفتن همیوغ مختلط" میگویند .همیوغ مختلط zرا با نشان میدهند ودر نتیجه
(6.5) .
شکل ۶-۲ : نقاط همیوغ مختلط
متغییر مختلط zو همیوغ آن نسبت به محور xتصویرهای آینه ای یکدیگرند یعنی تبدیل yبه
-y(با شکل ۶-۲ مقایسه کنید ). حاصلضرب عبارت است از
. (6.6)
بنابراین بزرگی zعبارت است از:
تقسیم اعداد مختلط به آسانی بوسیله قرار دادن عدد مثبت در مخرج کسر به صورت زیر اجرا میشود :
, (6.7)
که قسمت حقیقی وموهو می بصورت نسبت اعداد حقیقی با همان مخرج مثبت را نمایش می دهد.اینجا قدر مطلق مجذور z2است و همیوغ مختلط zنامیده میشود. می توانیم بنویسیم ،که مجذور طول مربوط به بردار دکارتی درمختصات مختلط است.
بعلاوه با توجه به (شکل ۶-۱)می توانیم درصفحه ی مختصات قطبی بنویسیم:
x=rcosө , y=rsinө (6.8)
z=r(cosө+i sinө) (6.9)
در این نمایش rقدر مطلق یا مقدارقدر مطلق از
زاویه ی θ (=tan -1(y/x)) شناسه (ارگومان) یا فاز zنامیده میشود.با استفاده از نتیجه ای که در بخش ۶-۵ پیشنهاد شد (اما به دقت اثبات نشده ) نمایش قطبی متغییر مختلط را که بسیار سودمند است به دست می آوریم (6.10)
برای اثبات نمودن این یکسانی ما از i³=-iو 4 i =1و... استفاده می کنیم .در بسط تیلور توابع مثلثا تی ونمایی پس از جدا کردن توانهای زوج و فرد د
. (6.11)
برای مقدارهای ویژه ی ө=π و ө= 2/, π بدست می آوریم:
ارتباط بین e و i و π جالب است.دوره ی تناوب تابع نمایی iө e مانند sinө , cosө ، 2π است .بعنوان یک کاربرد سریع میتوانیم مشتق شکل قانونهای جمع مثلثاتی را بدست آوریم:
حالا اجازه دهید نسبت اعداد مختلط را به طور واضح به شکل قطبی تبدیل کنیم.
مثال 6-1-2 تبدیل به شکل قطبی
با تبدیل کردن مخرج نسبت به عدد حقیقی آغاز می کنیم:
که در آن و . زیرا دو شاخه در ناحیه صفر تا 2π داردما جواب π/2 > θ0>0 و º255 .60 = θ0 را انتخاب می کنیم زیرا جواب دوم
π +0 θ نتیجه میدهد : (علامت اشتباه. (i.e.
به طور متناوب میتوانیم و را به شکل قطبی با زاویه ی و تبدیل کنیم.و سپس آنها را به یکدیگر تقسیم کنیم تا بدست آوریم
برای راحتی میتوان نمایش قطبی معادله (۶-۱ )یا نمایش د کارتی[ معادله های ۶-۱و۶-۴ ]را برای متغیر مختلط برگزید.جمع و تفریق متغییرهای مختلط در نمایش دکارتی آسانترصورت میگیرد معادله ۶-٢.ضرب ، تقسیم، به توان رساندن ویافتن ریشه در مختصات قطبی راحت تر انجام میشود معادله های ( ۶-۸ و ۶-۱۰).
اجازه دهید میانگین هندسی تابعهای چند ظرفتی بوسیله ی ثابت مختلط امتحان کنیم .
مثال ۶-۱-۳ ضرب اعداد مختلط
وقتی متغیر مختلط zرا در ضرب میکنیم ،برای مثال، ۹۰ درجه پاد ساعتگرد به چرخانده میشود.وقتی را در ضرب میکنیم را بدست می آوریم که zبوسیله آرگومان چر خانده میشود .همچنین منحنی های معیین شده با ثابت هنگامی که یک تابع مختلط را در آن ضرب کنیم چرخانده می شو د . هنگامی که قرار دهیم :
ثابت
دو هذلولی زیر را معیین می کنیم
از ضرب کردن c در عدد مختلط ،بدست میاوریم:
هذلولی ها بوسیله ی قدر مطلق Aمقیا س گذاری و بوسیله ی آرگومان چرخیده میشوند.
می توان به طور تحلیلی یا نموداری ،با استفاده از شباهت با بردارها ،نشان داد (مسا له ۶.۱.۲)که مدول مجموع دو عدد مختلط از مجموع مدولهای آن دو عددکوچکتر واز اختلاف آنها بزرگتر است:
(6.12)
این نامساوی ها را ،در تشابه با بردارها،نا مساوی های مثلثی می نامند.
با استفاده از صورت قطبی متغییر مختلط ،معادله(۶- ۸) پی میبریم که بزرگی حاصلضرب متغیرهای مختلط با حاصلضرب بزرگیهای آنها برابر است،
. (6.13)
همچنین
. (6.14)
از متغییر مختلط z،می توان تابعهای مختلط یا را ساخت . این تابعهای مختلط را میتوان به اجزای حقیقی و موهومی تفکیک کرد
(6.15)
شکل ۶-۳: تابع نقاط صفحه ی را روی صفحه ی می نگارد.
که در آن تابعهای مجزای و حقیقی محض اند. مثلاً،اگر ،آنگاه داریم :
جزء حقیقی تابع را با وجزءموهومی آن را با نشان میدهنددر معادله(۶-۱۵)
(6.16)
شاید بهترین روش برای تصویر کردن رابطه ی بین متغیر مستقل zومتغیر وابسته ی ω ،عمل نگاشت باشد .A یک مقدار مفروض z=x+iy،یعنی یک نقطه ی مفروض در صفحه ی z.مقدار مختلط نیز نقطه ای است در صفحه یω .همانگونه که در شکل( ۶-۳)نشان داده شده است ،نقاط صفحه ی z روی نقاطی از صفحه ی ω ،و منحنیهای صفحه یz روی منحنی های در صفحه یω نگاشته می شوند.
تابعهای متغییر مختلط
همه ی تابعهای بنیادی متغییر حقیقی را میتوان ،با نشاندن متغییر مختلط z،به جای متغییر حقیقی x،به دصفحه ی مختلط گسترش داد. این عمل نمونه ای از ادامه ی تحلیلی است که در بخش (۶-۵)توضیح داده خواهد شد. در معادله های(۶-۴) ، ( ۶-۹)و(۶-۸) که رابطه های بسیار مهمی هستند ،آن نکته توصیف می شود .با گام نهادن به صفحه ی مختلط فرصتهای تازه ای در تحلیل به وجود می آید .
مثال ۶-۱-۴فرمول دو مو آور:
اگر معادله ی (۶-۱۱)را به توان nبرسانیم،داریم
einθ =(cosθ+i sinθ)n. (6.17)
اینک اگر تابع نمایی با شناسه nθ را بسط دهیم ،بدست میآوریم :
Cos nθ+i sin nθ=(cos θ+i sin θ)n. (6.18)
این عبارت فرمول دو مو آور است.
اکنون اگر سمت راست معادله ی( ۶-۱۸) را با استفاده از قضیه ی دو جمله ای بسط دهیم،
nθ Cos را بصورت سریها ی توانی از sin θ و cos θ به دست خواهیم آورد
(مساله ی ۶-۱-۵). در مسئله ها با نمونه های بیشمار دیگری از رابطه بین تابعهای نمایی ، هذلولی ،مثلثاتی در صفحه ی مختلط روبه رو خواهیم شد.
گهگاه به عبارتهای پیچیده ای هم بر میخوریم . ریشه nام عدد مختلط بصورت
بدست می آید.این تنها جواب عدد مختلط zنیست زیرا حاصل برای هر عدد صحیح mمشود n-1. جمع ریشه ها برای =1 2 3 … n-1 m
است .بنا براین بدست آوردن ریشه ی nام یک تابع چند مقداری یا عمل کردن با nمقدار،برای یک عدد مختلطz را نتیجه میدهد.
به مثال عددی زیر توجه کنید.
۶-۱-۵ جذر ریشه
هنگامی که مجذور ریشه یک عدد مختلط با آرگومانθ بدست آوریم داریم 2/θ .با -1شروع می کنیم که1 r =در۱۸۰ = θ است وبا1 r =در۹۰ = θ کهi است و یا داریم ۹۰ - = θ که
-iاست ریشه را بدست می آوریم. اینجا نسبت پیچیده تر از اعداد مختلط است:
برای n=0,1 .
مثال دیگر لگاریتم یک متغییر مختلطz است که میتوان با استفاده از نمایش قطبی بسط داد
(6.19)
دوباره این جواب کامل نیست بخاطر وجود شاخه های چند گانه ی وارون تابع tan.می توانیم به زاویه ی فاز θ ،هر مضرب صحیحی از 2π را بیفزاییم بدون انکه zتغییر کند به دلیل آنکه دوره ی تناوب tan، 2π است . بنا بر این معادله ی( ۶-۱۹)را می توان به صورت زیر خواند:
(6.20)
پارامتر nمیتواند هر عدد صحیحی باشد .یعنی ،lnz یک تابع چند مقداری است که تعداد مقادیر آن به ازای یک تک زوج مقادیر حقیقیr و θ ، نا متناهی است. برای اجتناب از این ابهام ،معمولا قرارداد میکنیم که n=0وفاز را در بازهای به طول 2π ،مثلا (π,-π )،محدود میکنیم .خطی را در صفحه ی zکه قطع نمی شود ،مثل محور حقیقی منفی در مثالی که آوردیم ،خط برش می خوانند . مقدار ln z به ازای n=0را، مقدار اصلیln z می گویند.در آینده شرح این توابع ،از جمله لگاریتم در بخش( ۶.۶ )ظاهر میشود و به بررسی مشوح تر آنها می پردازیم.
شکل ۶-۴: مدار الکتریکی RLC باجریان متناوب
مثال ۶-۱-۶ مدارهای الکتریکی
دریک مدار الکتریکی با جریانIکه در مقاومت جاری می شود و بوسیله ی ولتاﮊVتحریک می شود قانون اهم حاکم است V=IRکه Rمقاومت است . اگر یک خود القایی L را به جای مقاومت R بنشانیم سپس ولتاﮊ و جریان بوسیله ی معادله ی به یکدیگر مربوط می شوند .اگر خازن Cرا به جای خود القایی Lقرار دهیم آنگاه ولتاﮊ به بار خازن Qبستگی دارد.V=Q/C
از معادله ی بالا نسبت به زمان مشتق می گیریم حاصل بصورت زیر بدست می آید:
بنابراین ، مداری با یک مقاومت ویک سلف و یک خازن که به طور سری بسته شده باشد (شکل ۶-۴راببینید )از معادله معمولی مختلفی پیروی میکند
(6.21)
اگر مدار بوسیله ی یک ولتاﮊمتناوب با بسامدω تحریک شود در مهندسی الکتریک آن یک سنت و قرارداد است تا ولتاﮊمختلط V= V0 eiωt و جریان I=I0 eiωt در همان فرم استفاده شود که جواب حالت پایا (حالت یکنواخت )در معادله( ۶-۲۱)است . این شکل مختلط فاز مختلفی بین جریان و ولتاﮊظاهری را نشان خواهد داد. در پایان ،مقدارهای مشاهده شده فیزیکی با بخش حقیقی نشان داده میشوند.(.etc i.e., ).اگرجانشین کنیم وابستگی زمانی نمایی را ،بااستفاده از iωI = dI/dt ،و Iلحظه ای را کامل کنیم تا Q=I/iω رادر معادله (۶-۲۱) بدست آوریم.،شکل مختلط قانون اهم را بدست می آوریم:
وz=R+i(ωL-1/ωc) را بصورت امپدانس (مقاومت ظاهری) معین میکنیم یک عدد مختلط V=IZرا به صورتی که نشان داده شده است بدست میآوریم. بیشتر مدارهای الکتریکی کا بردی میتواند با استفاده از فقط مقاومت ظاهری ساخته شود _آن بدون حل کردن معادله( ۶-۲۱)است
_بر طبق قوانین ترکیبی زیر:
• مقاومت Rاز دو مقاومت که بطور سری قرارگرفته اند برابر است با R=R1 + R2
• خود القایی Lاز دو القاگر که به طور سری قرار گرفته اند برابر است با2 L =L1 +L
• مقاومت Rاز دو مقاومت که به طور موازی بسته شده اند پیروی میکند از
1/R =1/R1 +1/R2
• خود القایی Lاز دو القاگر که به طور موازی بسته شده اندپیروی میکند از
1/L =1/L1 +1/L2
• خازن که از دو خازن سری تشکیل شده پیروی می کند از 1/C=1/C1 +1/C2
• خازنی که از دو خازن موازی تشکیل شده پیروی می کنداز 2=C1 +C C
در فرم مختلط این قانونها میتوانند در شکتهای فشرده تری وضع شوند ،بصورت زیر:
• دو مقاومت ظا هری (امپدانس)سری به صورت 2Z = Z1 +Z ترکیب می شوند.
• دو مقاومت ظا هری(امپدانس) موازی به صورت 1/Z=1/Z1 +1/Z2 ترکیب می شوند.
خلاصه
اعداد مختلط محورهای اعداد حقیقی را به صفحه ی اعداد مختلط توسعه می دهند بطوری که هر چند جمله ای میتواند مضرب کاملی باشد .جمع وتفریق اعداد مختلط شبیه بردارهای دو بعدی در مختصات دکارتی است .
بهتر است ضرب و تقسیم اعداد مختلط در مختصات قطبی صفحه ی مختلط انجام شود .
تابع نمایی اعداد مختلط بصورت ez = ex (cos y + i sin y) داده می شود .برای ez = ex z=x+i0=x , . تابع مثلثاتی بصورت زیر میباشد :
وتابعهای هیپربولیک
میباشد .لگاریتم طبیعی به lnz = ln|z| + i ( θ + 2πn ) , n = 0 , ±1 ,… تعمیم داده می شود و توانهای کلی بصورت zp = epln z معین می شوند.
۶-۲ شرایط کوشی _ریمان
اکنون که با توابع مختلط یک متغییر مختلط آشنا شدیم ،به مشتق گیری از آنها اقدام میکنیم .مشتق ،مانند مشتق یک تابع حقیقی ،بنابر تعریف عبارت است از :
(6.22)
شکل ۶-۵ :مسیرهای مختلف نزدیک شدن به 0 z
به شرط آنکه حد،از شیوه ی خاص نزدیک شدن به نقطه ی zمستقل است .برای متغیر های حقیقی شرط آنکه مشتق در0x=x وجود داشته باشد ،آن است که
حد سمت راست (0 x→x ،از مقادیر بزرگتر ) با حد سمت چپ(x→x0 ،از مقادیر کوچکتر ) برابر باشد . اکنون به ازای z(یا 0 z) به صورت نقطه ای در یک صفحه ،این شرط ،که حد از جهت نزدیک شدن مستقل باشد ،بسیار محدود کننده است .نمو های δx و δy به ترتیب در xوy ،را در نظر بگیرید .در نتیجه داریم:
(6.23)
همچنین
(6.24)
بنابراین داریم
. (6.25)
حالا،حد بیان شده در معادله ی( ۶-۲۳ )را بدست می آوریم ،مطابق شکل( ۶-۵)،از دو مسیر مختلف به z نزدیک می شویم .نخست ،به ازای δy=0 حدδx→0 را می یا بیم . از معادله ۶-۲۴میرسیم به
(6.26)
با این فرض که مشتقهای پاره ای وجود داشته باشند . برای مسیر دوم نزدیک شدن ،قرار می دهیم δx=0 و آنگاه حد0→δy را محاسبه می کنیم . در نتیجه
(6.27)
برای انکه مشتق df/dzوجود داشته باشد ،باید معادله های (۶.۲۶)و( ۶.۲۷ ) عین هم باشند . با مساوی قرار دادن اجزای حقیقی با هم و اجزا ی مو هومی با هم (مانند مو لفه های بردارهای مساوی )،خواهیم داشت:
. (6.28)
این شرایط را شرایط کوشی_ریمان می گویند .کوشی این شرایط را کشف کرد و ریمان از آنها در نظریه ی توابع تحلیلی به نحو گسترده ای بهره گرفت . شرایط کوشی _ریمان برای وجود مشتق ،شرایط لازم به شمار می آیند یعنی اگر وجود داشته با شد ،شرایط کوشی _ ریمان باید برقرار باشد.آنها میتوانند بطور هندسی تفسیر شوند .حالا آنها را بعنوان حاصلی از نسبت مشتقهای پاره ای می نویسیم
(6.29)
به اختصار
شکل ۶-۶:شیبهای متعامد خطهای ثابت = وثابت= .
حالا معنای هندسی uy / ux- را بصورت شیبtan هر منحنی( ثابت =u(x,y)) بخاطر می آوریم .معادله ۱-۵۴را ببینید .و همانند آن برای( v(x,y) =ثابت) (شکل ۶-۶). بنا براین معادله
۶-۲۹بدین معنی است که ثابت = u وثابت = v . از طرفین منحنی ها در هر محل تقاتع متعامد هستند زیرا cosα = β = sin (α+90° ) و- sinα = cosβ ایجاب میکند که 1- = tanβ .tanα با نسبت گرفتن . به طور متناوب
حالتهایی که اگر (dx,dy)مماس برمنحنیu باشد پس عمود(- dx, dy) مماس بر منحنی v در نقطه ی تقاطعz = (x,y) است . به طور معادل0 = vy u y + vx ux ایجاب میکند که شیب بردارهای
ux , u y ) ) و( vyو vx)
عمود باشد بر عکس ،اگر شرایط کوشی _ریمان برقرار ،و مشتقهای پاره ای u(x,y) وv(x,y) پیوسته باشند ،مشتق df/dz وجود خواهد داشت . برای اثبات این ادعا می توان نوشت :
(6.30)
درستی این عبارت به پیوستگی مشتقهای پاره ایu,v بستگی دارد.با تقسیم بر داریم:
(6.31)
اگر قرار بر تک مقدار بودن δz/ δf باشد ،باید وابستگی آن به δx / δy حذف شود .با کاربرد شرایط کوشی_ ریمان در مشتقهای نسبت به y ،خواهیم داشت:
(6.32)
با نشاندن معادله ی (۳۲-۶)در معادله ی( ۶-۳۰) می توانیم وابستگیδyوδx را باز نویسی کنیم به صورت z= δx+ iδy و می رسیم به
که نشان میدهد تا جایی که مشتقهای پاره ای پیوسته اندبه جهت نزدیک شدن به در صفحه ی مختلط بستگی نخواهد داشت .
نکته ی جالب این استکه شرایط کوشی _ ریمان متعامد بودن منحنیهای( u=1 c= ثابت).و(v= c2=ثابت) را تضمین میکند (با بخش ۶-۲مقایسه کنید ).کاربرد این خاصیت در مسا ئل پتانسیل در زمینه های گوناگون فیزیک نقش اساسی بازی می کند .اگر u=1c یکی از خطوط میدان الکتریکی باشد ، v= c2یک خط (سطح) هم پتانسیل خواهد بود و برعکس . همچنین معادله ی( ۶-۲۸) به آسانی نشان میدهد که هر دو u وv در معادله ی لاپلاس صدق می کنند . بعلاوه یک کاربرد برای نظریه ی پتانسیل در تمرین (۶-۲-۱ )ظاهر شده است.
قبلا توابع مقدماتی را به صفحه ی مختلط بوسیله ی نشاندن متغییر حقیقیx به جای مختلطz تعمیم داده ایم .حالا مشتقهای آشنای آنها را چک می کنیم .
مثال ۶-۲-۱ مشتق توابع مقدماتی
توابع مقدماتی را با بسطهای تیلور آنها مشخص می کنیم (بخش ۶-۵را ببینید ،با z →x ،و بخش
۵-۶ را ببینید).
e z =
sin z = , cos z =
ln (1+z) =
جمله به جمله دیفرانسیل می گیریم [که بوسیله همگرایی مطلق برای e z ، cosz ، sin z ،برای همه مقادیر z وبرای(1+z) ln برای ׀z׀<1 بر قراراست] و می بینیم که
=
تعمیم همه ی نتایج مشتق حقیقی به حوزه ی مختلط ،به سادگی با نشاندنz→x میسر می شود .
تاریخ زندگی
Riemann,Bernhard Georg Friedrich.
ریمان،ریاضیدان آلمانی،در سال 1826 در Hannover بدنیا آمد و بر اثر مرض سل در سال1866 در Selasca ،ایتالیا در گذشت. اوپسرپیشوای روحانی کلیسای لوتران ، اومطالعه خود را از خداشناسی به ریاضی در دانشگاه Göttingen تغیر داد ،و در سال 1851،از همین دانشگاه موفق به دریافت درجه یPh.D. شد. رساله ی دکتری او را گاس تأیید کرد .او در بسیاری از شاخه های علم ریلضی با اینکه در سن چهل سالگی دیده از جهان فرو بست ،همکاری کرد و شرکت داشت . بیشتر شهرتش بدلیل پیشرفت فضاهای استاندارد (منحنی) از خاصیت اصلی و ذاتی هندسی آنها به صورت خمیدگی (مقدار انحنا) است . مهمترین موضوع رسله ی دکتری او Habilitation ،یا Venia legendi که گاوس به آن توجه کرد و عمیقاً تحت تا ثیر او قرار گرفت . نیم قرن بعد هندسه ی ریمانی پایه ای برای
General Relativity ُEinstein شد . تحلیل عمیق ریمان از تابع مختلطzeta شالوده و بنیادی برای دلیل اولیه ی نخستین قضیه ی اعداد در سال 1898 توسط ریاضی دانهای فرانسوی J.Hadamard وC.de la Valléepoussin و دیگر پیشرفت مهم در قضیه توابع تحلیلی از متغیر مختلط گشت. فرضیه ی او درباره ی توزیع صفرهای non trivial از تابع zeta ،بود که نتایج بسیاری در تحلیل نخستین قضیه ی اعداد دارد ،بیشتر شهرت ریمان برای مسا ئل حل نشده در علم ریاضی امروز ست.
توابع تحلیلی
سرانجام اگرf(z) در 0z = z و در ناحیه ی کوچکی اطراف0 z مشتق پذیر باشد ،می گوییم f(z) در 0z = z تحلیلی است . اگر f(z) در همه ی نقاط صفحه ی مختلط (متناهی) تحلیلی باشد ،آن را یک تابع تام می نامیم . نظریه ای که در اینجا درباره ی متغییرهای مختلط مطرح می کنیم ،اساسا نظریه ی توابع تحلیلی متغییر های مختلط است ،که اهمیت حیاتی شرایط کوشی _ ریمان را باز گو می کند .مفهوم تحلیلی نبودن که در نظریه های پیشرفته فیزیک جدید خیلی پیش می آید ،در نظریه ی پاشندگی (ذرات بنیادی یا نور )نقش مهم بازی میکند . اگر در نقطه ی( z ) ׳ f در نقطه ی 0z = z وجود نداشته باشد آن نقطه 0z را یک نقطه ی تکین می نامند که بررسی آن را به بخش( ۷-۱) مو کول میکنیم .
برای نمایش دادن شرایط کو شی _ ریمان ،دو مثال ساده ی زیر را در نظر می گیریم.
مثال ۶-۲-۲
اگر ² z = f(z) باشد . جزءحقیقی آن عبارت است از u(x,y)=x2 - y2 و جزء موهومیش عبارت است ازv(x,y)=2xy .با توجه به معادله ۶.۲۸،
,
می بینیم که شرایط کوشی _ ریمان در تمام صفحه ی مختلط به ازای ² z = f(z) برقرار است . چون مشتقهای پاره ای آشکارا پیو سته اند ،نتیجه می گیریم که ² z = f(z) تحلیلی است.
مثال ۶.۲.۳
را در نظر بگیرید.u =x و v =-y . با بهره گیری از شرایط کو شی_ ریمان داریم:
شرایط کوشی _ ریمان برقرار نیست و هم تابعی تحلیلی از z نیست نکته ی جالب پیوسته بودن است که مثالی از تابعی به شمار می آید که همه جا پیوسته است ولی در هیچ جا مشتق ندارد.
خلاصه
مشتق یک تابع حقیقی از متغییر حقیقی اساسا یک مشخصه ی مو ضعی است ،که فقط در یک همسایگی موضعی اطلا عاتی درباره ی تابع ،مثلا به صورت یک بسط تایلور بریده ،ارائه می کند . وجود مشتق یک تابع متغییر مختلط مضمونهای جامعتری را درباره ی تابع در اختیارمان می گذارد .اجزای حقیقی و موهومی تابع تحلیلی ما باید به طور جداگانه در معادله لاپلاس صدق کند این موضوع در مساله (۶-۲-۱) آمده است . علاوه بر این ،تابع تحلیلی ما وجود مشتقهایی از همه ی مرتبه های بالاتر را تضمین میکند (بخش۶-۴).مشتق ،با این مفهوم ،نه تنها بر رفتار مو ضعی تابع مختلط حاکم است بلکه رفتار دور آنرا نیز کنترل می کند.
۶-۳ قضیه ی انتگرال کوشی
انتگرال های پربندی
پس از بررسی مشتق گیری ،به انتگرال گیری میپردازیم . انتگرال متغییر مختلط روی یک پربند در صفحه ی مختلط را می توان شبیه به انتگرال (ریمان) یک تابع حقیقی در امتداد محور حقیقی xوانتگرال خطی بردارها درفصل ۱ تعریف کرد.
شکل ۶-۷ :مسیر انتگرال
انتگرال پر بندی را می توان بصورت زیر تعرف کرد:
(6.33)
که در آن مسیری که(x1 , y1 ) را به(x2 , y2 ) متصل می کند با ید مشخص باشد .در مسیرc ، پارامتر ها به صورتx(s) و y(s) هستند پس داریم dx→،و dy→ .
این تعریف انتگرال مختلط را به مجموع مختلط انتگرالهای حقیقی تبدیل می کند . این کار تا حدودی مانند تعویض انتگرال برداری با جمع برداری انتگرالهای اسکالر است ،بخش(۱-۹) .
فرمت این مقاله به صورت Word و با قابلیت ویرایش میباشد
تعداد صفحات این مقاله 57 صفحه
پس از پرداخت ، میتوانید مقاله را به صورت انلاین دانلود کنید
دانلود مقاله تابع متغیر مختلط
